Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №54

Просмотров 7 Комментарии 0

Toчки $P,Q,W$ делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP :P B = CQ :QB = CW :W D =1 :4,$ a paдиус окружности, описанной около треугольника $PQW,$ равен 10, причем $PQW$ не является тупоугольным; $P Q= 16,$ $QW = 12.$

a) Докажите, что треугольник $P QW$ — прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD.$

а) В первом пункте нам важна только информация о треугольнике $PQW$ . Обозначим через $R =10$ его радиус описанной окружности. По условию $P Q= 16,QW = 12$ . Докажем, что $∠Q = 90∘$ . Запишем теорему косинусов для угла $Q$

PW 2 = PQ2+ QW 2− 2P Q⋅QW cos∠Q

По следствию из теоремы синусов

-P-W--= 2R ⇒ PW = 2R sin ∠Q sin∠Q

Подставив в первое равенство, получим

$pict$

Получили квадратное уравнение относительно $cos∠Q$ . Подставим значения и решим

$pict$

Первый корень очевидно подходит, получается прямоугольный треугольник со сторонами $12,16,20$ . Проверим второй корень

$pict$

Угол $W$ тупой, т.к. $2 2 2 PQ > PW + QW » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-5455-14.svg» width=»auto»>, а по условию треугольник <img decoding=$ не может быть тупоугольным. Получили противоречие, значит, единственный возможный случай, когда треугольник $P QW$ — прямоугольный.

б) $△ ABC ∼ △P BQ$ с коэффициентом $5 4$ (т.к. $BA= BC= 5 BP BQ 4$ , $∠B$ — общий). Из подобия следует, что $PQ ∥AC$ . По аналогичным причинам $△ BCD ∼ △QCW$ с коэффициентом $5$ и $QW ∥ BD$ . Тогда