Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №53

Просмотров 22 Комментарии 0

Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M,$ а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N.$ Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P.$

a) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если $BC = 7,$ $AD = 17.$

(МИОО 2017)

а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что точка $P$ лежит на $OD.$

Углы $∠AMD = ∠CND = 90∘,$ так как это вписанные углы, опирающиеся на диаметры соответствующих окружностей. Тогда точка $P$ — ортоцентр треугольника $ACD.$ Угол $AOD$ между диагоналями прямой по условию, значит, $DO$ — третья высота в треугольнике $ACD$ и тоже проходит через точку $P.$

Трапеция $ABCD$ равнобокая, следовательно, треугольники $DBC$ и $ACB$ равны, откуда $∠DBC =∠ACB$ и $OB = OC.$ Угол $∘ ∠BOC = 90$ по условию, тогда треугольник $BOC$ — прямоугольный равнобедренный, а $∘ ∠OBC = 45 .$ Углы $∘ ∠CND = ∠BCN = 90$ как накрест лежащие.

$PIC$

Тогда по сумме углов треугольника $BCP :$

∠CP B =180∘− 90∘− 45∘ = 45∘ = ∠CBP ⇒ CB = CP

Прямая $OC$ — серединный перпендикуляр к отрезку $BP,$ точка $A$ лежит на прямой $OC,$ следовательно, $AB = AP.$ Получили, что в выпуклом четырехугольнике $ABCP$ суммы противоположных сторон равны: