Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №52

Просмотров 7 Комментарии 0

Дан треугольник $ABC.$ Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекается с биссектрисой угла $BAC$ в точке $K,$ лежащей на стороне $BC.$

а) Докажите, что $AC2 = BC ⋅CK.$

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $AKB,$ если $cos∠B = 2, AC = 36, 3$ а площадь треугольника $AKC$ равна $126√5.$

а) Углы $∠CAK = ∠KAB$ , так как $AK$ — биссектриса. Точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB,$ тогда имеем:

AK = BK ⇒ ∠KAB = ∠ABK

$PIC$

Тогда $△ AKC ∼ △BAC$ по двум углам: $∠CAK =∠ABC, ∠C$ — общий. Запишем отношение подобия:

KC-= AC- ⇒ KC ⋅BC = AC2 AC BC

Что и требовалось доказать.

б) Воспользуемся формулой $S = p⋅r$ для площади треугольника, где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности. Найдем площадь и полупериметр треугольника $ABK,$ чтобы вычислить радиус его вписанной окружности.