Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №51

Просмотров 9 Комментарии 0

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC.$ Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD.$

а) Докажите, что луч $AC$ — биссектриса угла $BAD.$

б) Найдите $CD,$ если известны диагонали трапеции: $AC = 12$ и $BD = 6,5.$

(МИОО 2017)

а) $△ ABC$ — равнобедренный по условию $⇒ ∠BAC = ∠BCA$ . Далее, $∠BCA = ∠CAD$ как накрест лежащие. Получили, что $AC$ — биссектриса угла $∠BAD$ .

$PIC$

б) Заметим, что площади треугольников $BCA$ и $BCD$ равны, т.к. они имеют общее основание $BC$ , а равенство высот следует из параллельности прямых $AD$ и $BC$ . Пусть $25 p = 2-$ — полупериметр треугольника $ABC$ , все стороны которого нам известны, $∠DBC = α$ . Запишем равенство площадей

$pict$

Несложно понять, что угол $α$ меньше 90 $∘$ . Допустим обратное $∘ α ≥ 90$ . Тогда $∠BDA = α$ как накрест лежащий. Получили противоречие, т.к. в равнобедренном треугольнике $ABD$ угол при основании должен быть строго меньше 90 $∘$ . Значит, $cosα ≥ 0 ⇒ cosα = 119- 169$ . Найдем $CD$ по теореме косинусов для треугольника $BCD$

$pict$

$PIC$