Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №5

$ABC$ – равносторонний треугольник, $AB = a$ . В вершинах треугольника $ABC$ построены окружности радиуса $0,5a < R < a$ . Всевозможные точки пересечения двух из этих окружностей, лежащие вне треугольника $ABC$ , образуют треугольник (обозначим его через $T$ ).

а) Докажите, что треугольник $T$ подобен треугольнику $ABC$ .

б) Найдите периметр треугольника $T$ .

а) Обозначим вершины треугольника $T$ через $A′$ , $B′$ и $C ′$ как показано на рисунке. Пусть $O$ – центр треугольника $ABC$ .

Так как своими центром и радиусом любая окружность определяется однозначно, то точки $′ A$ , $′ B$ и $′ C$ однозначно определяются положениями точек $A$ , $B$ и $C$ и числом $R$ .

Так как поворот плоскости является движением (сохраняет любые расстояния), то при повороте плоскости на $120 ∘$ вокруг точки $O$ множество точек ${A; B; C }$ перейдёт само в себя, следовательно, и множество точек ${A′;B ′;C ′}$ перейдёт само в себя.

$PIC$

Если бы одна из сторон треугольника $T$ была длиннее других его сторон, то при повороте плоскости множество $′ ′ ′ {A ;B ;C }$ не перешло бы в себя (иначе длинная сторона перешла бы в более короткую, но поворот плоскости – движение), следовательно, у $T$ нет стороны, которая длиннее других, следовательно, $T$ – равносторонний, а все равносторонние треугольники подобны.