Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №49

Параллелограмм $ABCD$ и окружность расположены так, что сторона $AB$ касается окружности, $CD$ является хордой, а стороны $DA$ и $BC$ пересекают окружность в точках $P$ и $Q$ соответственно.

а) Докажите, что около четырехугольника $ABQP$ можно описать окружность.

б) Найдите длину отрезка $DQ,$ если известно, что $AP = a,BC = b,BQ = c$ .

(пробный ЕГЭ 2017)

а) Четырехугольник $PQCD$ вписанный $⇒ ∠QP D + ∠QCD = 180∘ = ∠QP D + ∠QP A ⇒ ∠QCD = ∠QP A$ . $∠QCD = ∠BCD = ∠DAB$ , т.к. $ABCD$ — параллелограмм. $∠ABQ + ∠QP A = ∠ABQ + ∠BAP = 180∘ ⇒ ABQP$ — вписанный.

$PIC$

б) Для начала докажем лемму.

___________________________________________________________

Лемма 1. Пусть есть окружность и точка $A$ вне ее. Через точку $A$ проведена касательная $AK$ к окружности, а также прямая, пересекающая окружность в двух точках $B$ и $C$ . Тогда $AB ⋅AC = AK2$ .

Доказательство. $∠KCB = ∠AKB$ , т.к. угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Тогда $△ AKB ∼ △ACK$ по двум углам (т.к. $∠A$ общий). Запишем подобие

AB AK AK--= AC--⇔ AB ⋅AC = AK2

$PIC$

___________________________________________________________

Вернемся к решению исходной задачи. Дважды воспользовавшись Леммой 1 для точек $A$ и $B$ , получим соотношения

$pict$

Далее, из равенств углов, доказанных в первом пункте, очевидно, что трапеции $ABQP$ и $P QCD$ — равнобокие, то есть $√-- √ -- AK + KB = AB = QP = CD = ab+ bc$ . Пусть $∠QCD = α$ . Тогда из вписанности четырехугольника $QCDP$

∠DP Q = 180∘ − ∠QCD = 180∘ − α ⇒ cos ∠DP Q = cos(180∘ − α ) = − cosα

Выразим $2 QD$ двумя способами по теореме косинусов для треугольников $QCD$ и $QDP$ и найдем $cosα$

$pict$

Найдем $QD$ по теореме косинусов для треугольника $QCD$

$2 2 2 2 2 --QC2-−-PD2---- QD = QC + CD − 2QC ⋅CD cosα = QC + CD − 2QC ⋅CD ⋅ 2CD (QC + PD ) = √-- √ -- ((b− c)2 − (b− a)2)(b− c)(√ab-+ √bc) = (b− c)2 + ( ab+ bc)2 − ----------------√-----√----------= (2b− a− c)( ab+ bc) 2 √ -- √ --2 (c2 −-2bc+-2ab−-a2)(b−-c) = (b− c) + ( ab+ bc) − (2b− a− c) = 2 2 √-- (a − c)(2b− a − c)(b− c) = b − 2bc+ c + ab+ 2b ac +bc − -----(2b−-a-− c)-----= √ -- √ -- √ -- √ --- = b2 − 2bc+ c2 + ab+ 2b ac+ bc− ab− c2 + ac+ cb = b2 + 2b ac+ ac = (b+ ac)2 ⇒ QD = b+ ac .$

$PIC$