Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №47

Даны две группы по 10 чисел в каждой. Каждое из чисел равно либо трем, либо четырем, либо пяти. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно 4, а во второй группе равно 4,5.

а) Может ли в первой группе быть ровно три четверки?

б) Может ли во второй группе быть ровно три тройки?

в) Какое наименьшее значение может быть у среднего арифметического всех троек и четверок из двух групп?

Сумма чисел в первой группе равна $10⋅4= 40,$ а во второй равна $10⋅4,5= 45.$

а) Допустим, что такое возможно, тогда сумма семи оставшихся чисел первой группы равна $40− 4⋅3= 28$ и все они — тройки либо пятерки. Пусть среди оставшихся чисел $k$ троек и $7− k$ пятерок. Получаем следующее соотношение:

3k+ 5(7− k)= 28 35− 2k = 28 2k = 7 k = 3,5

Однако $k$ должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.

б) Если такое возможно, то сумма семи оставшихся чисел второй группы равна $45 − 3 ⋅3= 36$ и все они — четверки либо пятерки. Пусть среди оставшихся чисел $k$ четверок и $7− k$ пятерок. Получаем следующее соотношение:

4k+ 5(7− k)= 36 35− k = 36 k = −1

Однако $k$ должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.

в) Пусть в какой-то из двух групп две или больше четверок. Тогда возьмем две любые четверки из этой группы и заменим на тройку и пятерку. После этой операции среднее арифметическое чисел в группе не изменится. При этом среднее арифметическое всех троек и четверок строго уменьшится. Действительно, если было $k$ четверок и $m$ троек, то их среднее арифметическое равно

4k+-3m-= 4− --m-- k+ m k+ m

После замены двух четверок одной тройкой среднее арифметическое станет равным

4(k-− 2)+-3(m-+1) -m-+-1-- k− 2+ m + 1 = 4− k− 1+ m

Видим, что числитель увеличился, а знаменатель уменьшился, значит, вычитаемая дробь увеличилась и среднее арифметическое строго уменьшилось.

Таким образом, при оптимальных наборах в каждой из двух групп не больше одной четверки.

Допустим, что в первой группе ровно одна четверка, тогда сумма девяти оставшихся чисел первой группы равна $40− 4= 36$ и все они — тройки либо пятерки. Пусть среди оставшихся чисел $k$ троек и $9− k$ пятерок. Получаем следующее соотношение:

3k+ 5(9− k)= 36 45− 2k = 36 2k = 9 k = 4,5

Однако $k$ должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие. Значит, при оптимальных наборах в первой группе нет четверок, ровно пять троек и ровно пять пятерок.

Допустим, во второй группе нет четверок, тогда в ней $l$ троек и $10− l$ пятерок. Получаем

3l+ 5(10− l)= 45 50 − 2l = 45 2l = 5 l =2,5

Однако $l$ должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие. Значит, при оптимальных наборах во второй группе ровно одна четверка. Снова обозначим через $l$ количество троек, через $9− l$ количество пятерок, получим

3l+ 5(9− l)= 41 45 − 2l = 41 l = 2

Таким образом, при оптимальных наборах во второй группе две тройки и семь пятерок. Посчитаем среднее арифметическое троек и четверок в оптимальном наборе:

3⋅5+-4+-3⋅2- 25 μ = 8 = 8