Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №46

Просмотров 8 Комментарии 0

Toчка $M$ — середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ . Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$ .

a) Докажите, что $∠CAN = ∠CM N.$

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $AN B$ и $CBM$ , ecли
$tg∠BAC = 12 5$ .

$PIC$

а) Рассмотрим четырехугольник $AM N C$ . Углы при вершинах $M$ и $C$ прямые из условия. Таким образом, $AM N C$ является вписанным (сумма противоположных углов $∠C + ∠M = 90∘ + 90∘ = 180∘$ ). Тогда $∠CAN = ∠CM N$ по свойству вписанного четырехугольника, что и требовалось.

$PIC$

б) Аналогично первому пункту $∠N CM = ∠N AM$ . $M N$ по условию является серединным перпендикуляром к $AB$ , тогда $△ AM N = △BM N$ как прямоугольные с равными соответствующими катетами. Тогда $∠N AM = ∠N BM$ . Получили тройку равных углов $∠N CM = ∠N AM = ∠N BM$ . Из этого $△ CBM ∼ △ABN$ с коэффициентом $CB- k = AB = cos∠ABC$ по двум углам. Отношение радиусов описанных окружностей подобных треугольников равняется коэффициенту подобия. Найдем его

k = CB--= cos∠ABC = sin∠BAC = ∘--tg∠BAC------= 12 AB 1+ tg2∠BAC 13

Требуемое в условии отношение обратно найденному $1k = 1312-$ .