Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №45

Просмотров 7 Комментарии 0

В остроугольном треугольнике $ABC$ : $∠B = 60 ∘$ , $AM$ и $CN$ – высоты, а точка $Q$ – середина $AC$ .

а) Докажите, что $△M N Q$ – равнобедренный.

б) Найдите $∠M N Q -------- ∠N QM$ .

а) $N Q$ – медиана в прямоугольном треугольнике $AN C$ , тогда

N Q = 0,5 ⋅ AC,

$M Q$ – медиана в прямоугольном треугольнике $AM C$ , тогда

M Q = 0,5 ⋅ AC = N Q.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ :

∠BAM = 90∘ − ∠ABM = 30∘ ⇒ BM = AB ⋅ sin∠BAM = 0,5 ⋅ AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCN$ : $∘ ∘ ∠BCN = 90 − ∠ABM = 30$ , откуда

BN = BC ⋅ sin ∠BAM = 0, 5 ⋅ BC.

$PIC$

Так как

1-= BN-- = BM--, 2 BC AB

a $∠ABC$ – общий для треугольников $BM N$ и $ABC$ , лежащий между пропорциональными сторонами, то треугольники $BM N$ и $ABC$ подобны, откуда

M N BN 1 -----= ---- = -, AC BC 2

то есть $M N = 0,5 ⋅ AC = M Q = N Q$ , следовательно, $∠M N Q = ∠N QM$ и

∠M--N-Q-= 1. ∠N QM

Задачи формата ЕГЭ