Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №44

Просмотров 6 Комментарии 0

$AA1$ и $BB1$ – высоты в треугольнике $ABC$ , $O$ – центр описанной около $ABC$ окружности.

а) Докажите, что треугольники $A1B1C$ и $ABC$ подобны.

б) Найдите угол между $OC$ и $A1B1$ .

а) Рассмотрим треугольники $AA1C$ и $BB1C$ : $∠BCA$ – общий, $∠AA1C = 90∘ = ∠BB1C$ , тогда треугольники $AA1C$ и $BB1C$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников $AA1C$ и $BB1C$ :

A1C AC A1C B1C ----- = ---- ⇔ -----= ----. B1C BC AC BC

Рассмотрим треугольники $A B C 1 1$ и $ABC$ :

A1C B1C -----= -----, ∠ACB — общ ий, AC BC

тогда треугольники $A1B1C$ и $ABC$ подобны (по пропорциональности сторон и равенству углов между ними).

$PIC$

б) Проведем к описанной около $ABC$ окружности касательную $l$ , проходящую через точку $C$ . Из подобия треугольников $A1B1C$ и $ABC$ : $∠BAC = ∠B1A1C$ .

По теореме об угле между касательной и хордой угол между прямыми $l$ и $BC$ равен половине меньшей из дуг $BC$ , но $∠BAC$ – вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, тогда $∠BAC$ тоже равен половине меньшей из дуг $BC$ , следовательно,

∠(BC; l) = ∠BAC = ∠B A C, 1 1

но $∠ (BC; l)$ и $∠B1A1C$ – внутренние накрест лежащие при прямых $A1B1$ , $l$ и секущей $A1C$ , откуда $l ∥ A1B1$ .

Так как $l$ – касательная к окружности в точке $C$ , то $OC ⊥ l$ , но $l ∥ A1B1$ , тогда $OC ⊥ A1B1$ , следовательно, угол между $OC$ и $A1B1$ равен $90∘$ .