Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №43

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность радиуса $R$ и описана около окружности радиуса $r$ .
а) Докажите, что центры этих окружностей лежат на серединных перпендикулярах к основаниям трапеции.
б) Найдите $r$ , если $R = 12$ , а косинус угла между диагональю $AC$ и основанием $AD$ равен $3 -- 4$ .

а) Так как трапеция вписана в окружность, то $∠B + ∠D = 180∘$ . Но по свойству трапеции $∠B + ∠A = 180∘$ , откуда $∠A = ∠D$ . Следовательно, трапеция равнобедренная.

$PIC$

Также $AO = OD = BO = OC$ как радиусы описанной окружности, откуда следует, что точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AD$ и концов отрезка $BC$ , то есть лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам $AD$ и $BC$ (на самом деле серединные перпендикуляры к основаниям данной трапеции совпадают, так как к двум параллельным прямым из точки можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную этим прямым).

Так как в трапецию вписана окружность, то ее центр $Q$ лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. Следовательно, $∠QAD = 0,5∠A = 0,5 ∠D = ∠QDA$ , откуда $△AQD$ равнобедренный, следовательно, $Q$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$ .

Чтд.

б) $PIC$

Как говорилось в пункте а), если около трапеции описана окружность, то трапеция является равнобедренной. Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. Так как боковые стороны данной трапеции равны, то $AD + BC = 2AB$ .
Обозначим $AB = CD = t$ .
Рассмотрим $△ACD$ . Так как около него описана окружность радиуса $R$ , то можно записать теорему синусов:

---CD------ sin∠CAD = 2R

Если $cos∠CAD = 34$ , то $√- sin ∠CAD = -74-$ . Следовательно,

√ -- t√--= 2R ⇒ t = --7-R (1) -7- 2 4

Проведем $CH ⊥ AD$ . По свойству трапеции, в которую вписана окружность, высота трапеции равна $2r$ . Следовательно, $CH = 2r$ . Тогда из прямоугольного $△CAH$ :