Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №42

Окружность с центром $O1$ радиусом $9$ вписана в треугольник $ABC$ . Окружности с центрами $O2$ и $O3$ и радиусами $8215$ и $1$ соответственно, которые вписаны в углы треугольника $A$ и $C$ соответственно, касаются первой окружности внешним образом.

а) Докажите, что $∘ 24 ∠C = 180 − arctg7$ .

б) Найдите площадь треугольника $AO1O3$ .

(Задача от подписчиков)

а) Пусть $R1, R2,R3$ – точки касания со стороной $AC$ окружностей с центрами $O1,O2, O3$ соответственно.
Тогда $O1R1, O2R2, O3R3 ⊥ AC$ .

Если окружность вписана в угол, то она лежит на биссектрисе этого угла, следовательно, $O1, O3$ лежат на биссектрисе угла $C$ , $O1, O2$ – на биссектрисе угла $A$ .
Будем называть окружность с центром в $O1$ – первой, с центром в $O2$ – второй и с центром в $O3$ – третьей.

Пусть $KK3$ – общая касательная к первой и третьей окружностям. $LL2$ – общая касательная к первой и второй окружностям, как показано на рисунке: $PIC$
Докажем, что $∠CK3K = ∠AL2L = 90∘$ .
Так как $KK 3$ – касательная, $K 3$ – точка касания, то $∠KK O = 90∘ 3 3$ как угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания. Аналогично $∘ ∠AL2L = 90$ .

Заметим также, что $KR3 = KK3 = KR1$ и $LR2 = LL2 = LR1$ (также как отрезки касательных).

Рассмотрим “правую” часть рисунка. $PIC$
Заметим, что $△CO3R3 ∼ △CKK3 ∼ △CO1R1$ (по двум углам). Обозначим $CR3 = y,KR3 = x$ . Тогда из подобия этих трех треугольников

O3R3--= KK3--= O1R1-- ⇒ 1-= ∘------x--------= --9---- CR3 K3C CR1 y (x + y )2 − x2 2x + y

Из равенства

1 9 y-= 2x-+-y-

можно выразить $x$ через $y$ : $x = 4y$ . Тогда $∘ ------------- K3C = (x + y)2 − x2 = 3y$ , следовательно,

tg∠C--= -x-= 4- 2 3y 3

Тогда $4 ∠C = 2arctg 3$ .
Докажем, что это значение действительно равно $∘ 24 180 − arctg 7-$ .
Найдем тангенс $∠C$ , полученного в нашем решении, и тангенс $∠C$ , данного в условии:

( ) ( ) 2tg arctg4- 4- ------------3----- --2 ⋅-43-- 24- tg 2arctg 3 = ( 4 ) = (4)2 = − 7 1 − tg2 arctg-- 1 − 3 3 ( ) ( ) ∘ 24- 24- 24- tg 180 − arctg 7 = − tg arctg 7 = − 7

Чтд.

б) Для того, чтобы найти площадь $△AO O 1 3$ , можно найти площадь $△AO C 1$ и вычесть из нее площадь $△AO3C$ . Высоты этих треугольников к основанию $AC$ мы знаем, следовательно, нужно найти $AC$ .
Найдем $y$ .
Рассмотрим уже выведенное равенство из пункта а):

1- -------x-------- 1- 4y- 3- y = ∘ (x-+-y-)2-−-x2 → y = 3y ⇒ y = 4

Следовательно, $R1C = 9y = 27 4$ .
Теперь нужно найти $AR 1$ .
Для этого воспользуемся тем же способом, что и в пункте а). Пусть $AR2 = t$ , $R2L = z$ . Так как $△AO2R2 ∼ △ALL2 ∼ △AO1R1$ , то

81--= ∘------z--------= ---9-- 25t (z + t)2 − z2 2z + t

Отсюда $8 z = 9t$ . Так же, как в пункте а), найдем, что $243 t = 40-$ . Следовательно, $25 135 AR1 = t + 2z = 9-t = -8-$ . Тогда

( ) S = S − S = 1-⋅ AC ⋅ (O R − O R ) = 1-⋅ 135-+ 27- ⋅ 8 = 94,5 AO1O3 AO1C AO3C 2 1 1 3 3 2 8 4