Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №41

Просмотров 8 Комментарии 0

Медианы $AA1, BB1, CC1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$ . Известно, что $AC = 3M B$ .
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан $AA1$ и $CC1$ , если известно, что $AC = 12$ .

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)

а) Пусть $BM = x$ , тогда $AC = 3x$ . Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то $M B1 = 0,5x$ , следовательно, $BB1 = 1,5x$ . Следовательно, $AB1 = B1C = 1,5x = BB1$ . Следовательно, $△ABC$ прямоугольный с $∠B = 90∘$ .

$PIC$