Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Четырёхугольник $M N PQ$ вписан в окружность, причём $M N QM -----= ----- PQ P N$ .

а) Докажите, что точки $N$ и $Q$ равноудалены от прямой, содержащей $M P$ .

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой, содержащей $M Q$ , если $M P = 4$ , расстояние от $N$ до прямой, содержащей $M P$ равно $1,5$ , $M Q = 3$ .

а) Так как $M N QM ----- = ----- PQ P N$ , то $M N ⋅ PN = QM ⋅ P Q$ .

$PIC$

Так как $M N P Q$ вписанный, то $∠M N P = 180∘ − ∠M QP$ , следовательно, $sin ∠M N P = sin ∠M QP$ .

В итоге

S△MNP = 0,5 ⋅ M N ⋅ P N ⋅ sin ∠M N P = 0,5 ⋅ QM ⋅ P Q ⋅ sin ∠M QP = S △MQP .

С другой стороны, у треугольников $M N P$ и $M QP$ общее основание, следовательно, их площади относятся как высоты, проведённые к этому основанию, тогда эти высоты равны, значит, точки $N$ и $Q$ равноудалены от прямой, содержащей $M P$ .

б) В данном случае $S △MNP = 0,5 ⋅ 4 ⋅ 1,5 = 3$ , но $S △MNP = S△MQP$ . Обозначим расстояние от точки $P$ до прямой, содержащей $M Q$ через $h$ , тогда

S△MQP = 3 = 0,5 ⋅ 3 ⋅ h,

следовательно, $h = 2$ .

Задачи формата ЕГЭ