Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №39

Маша и Наташа делают фотографии. В первый день Наташа сделала $n$ фотографий, а Маша — $m$ фотографий, где $n,m$ — натуральные числа. Каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий. Известно, что в общей сложности Наташа сделала на 1615 фотографий больше Маши, а также то, что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли девочки фотографировать в течение пяти дней?

б) Могли ли девочки фотографировать в течение шести дней?

в) Какое наибольшее количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 30 фотографий?

а) Пусть $k$ — количество дней, в течение которых девочки фотографировали. Тогда в последний день Наташа сделала $n +k − 1$ фотографий, Маша — $m + k− 1$ фотографий. Предположим, что $k = 5.$

Следовательно, всего Наташа сделала $n+-n+-k−-1- 2 ⋅k = (n+ 2)⋅5$ фотографий (сумма первых пяти членов арифметической прогрессии), Маша: $m-+-m-+k-−-1⋅k = (m + 2)⋅5 2$ фотографий. Тогда можно составить уравнение

(n + 2)⋅5 = (m + 2)⋅5+ 1615 ⇒ n= m + 323,

где $n,m$ — любые натуральные числа. Из полученного уравнения мы видим, что можно подставить вместо $m$ и $n$ любые натуральные числа и никакого противоречия не будет.

Рассуждения выше не нужно писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Пусть $m = 1,$ $n = 324.$ Тогда на пятый день Наташа сделала 328 фотографий, Маша — 5 фотографий. Всего Наташа сделала $(324+ 328):2 ⋅5= 1630$ фотографий, Маша сделала $(1 +5):2 ⋅5 = 15$ фотографий. И действительно, $1630= 15+ 1615.$

Таким образом, ответ: да.

б) Предположим, что $k = 6.$ Поступая аналогично пункту а), получим следующее уравнение

n = m + 1615- 6

Так как $n,m$ — натуральные числа, то уравнение не имеет решений. Следовательно, ответ: нет.

в) В общем виде условие, что Наташа сделала суммарно на 1615 фотографий больше, чем Маша, можно записать так:

2n-+-k−-1 2m-+-k−-1 2 ⋅k− 2 ⋅k = 1615 ⇔ k(n − m )= 1615

Заметим, что $1615= 5⋅17⋅19.$

Так как в последний день Маша сделала $m +k − 1$ фотографий, и это число меньше 30, то отсюда получаем $m + k < 31$ или $m + k ≤ 30$ (так как числа $m$ и $k$ — натуральные).

Следовательно, можно сказать, что $k ≤ 30.$

Из уравнения

k(n − m)= 5⋅17⋅19

Тогда можно сделать вывод, что $k$ равно либо 5, либо 17, либо 19. Рассмотрим все три случая.

Пусть $k = 5.$ Тогда $m ≤25.$ Также тогда $n− m = 323.$ Следовательно, сумма сделанных Наташей фотографий равна
$2(323-+m-)+-5−-1 S = 2 ⋅5 ≤1750,$
причем равенство достигается, когда $m = 25.$
Пусть $k =17.$ Тогда $m ≤ 13,$ $n− m = 95.$ Следовательно,
$S = 2(95-+m-)+-17−-1⋅17≤ 1972 2$
Пусть $k =19.$ Тогда $m ≤ 11,$ $n− m = 85.$ Тогда
$S = 2(85-+m-)+-19−-1⋅19≤ 1995 2$