Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №38

Радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $√ --- --15- 3$ . Окружность радиуса $√ -- 5√-5- 3 3$ касается вписанной в треугольник $ABC$ окружности в точке $T$ , а также касается лучей, образующих угол $ACB$ . Окружности касаются прямой $AC$ в точках $M$ и $K$ .

а) Докажите, что треугольник $KT M$ прямоугольный.

б) Найдите тангенс угла $ABC$ , если площадь треугольника $ABC$ равна $√ --- 3 15$ , а наибольшей из его сторон является сторона $AC$ .

а) Так как обе окружности вписаны в угол $ACB$ , то их центры лежат на биссектрисе угла $ACB$ . Рассмотрим чертеж: $PIC$
Заметим, что $√ -- √ --- √ --- 5 5 5 15 15 -√---= ------ > —— 3 3 9 3 » class=»math» width=»auto»>, следовательно, центр второй окружности находится дальше от вершины <img decoding=$ , чем центр окружности, вписанной в $△ABC$ .
Так как окружности касаются, то их центры и точка касания лежат на одной прямой. $OM = OT$ –радиусы, следовательно, $△OM T$ – равнобедренный. Аналогично $△QKT$ – равнобедренный. Пусть $∠OM T = α,∠QKT = β$ .
Так как $∘ ∠OM K = ∠QKM = 90$ (так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной), то $OM ∥ QK$ . Следовательно, $∘ ∠M OQ + ∠KQO = 180$ как односторонние (:

180∘ − 2α + 180∘ − 2β = 180 ∘ ⇔ α + β = 90 ∘

Отсюда $∘ ∘ ∠KT M = 180 − α − β = 90$ .

б) Проведем $OH ⊥ QK$ . Следовательно, $√ --- HQ = QK − OM = 29 15$ . $√ --- OQ = 89 15$ . Следовательно,

∘ ---2-------2 10- OH = OQ − HQ = 3

$PIC$
Из подобия $△CKQ ∼ △OHQ$ :

CK KQ 25 ----= ---- ⇒ CK = --- OH QH 3

Следовательно, так как $OH = M K$ , то $CM = 25-− 10-= 5 3 3$ .

Из формулы $S = pr$ следует, что $p = 9 ABC$ , откуда $P = 18 ABC$ .
Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, то $CM = CP = 5,BP = BR = y,AM = AR = x$ . Следовательно,

AB = PABC-−--2CM---= 4 = x + y, AC = 5 + x, BC = 5 + y 2

По формуле Герона:

∘ -------------------------------- --- S = 9 ⋅ (9 − 4)(9 − 5 − x)(9 − 5 − y) = 3√ 15 ⇒ (4 − x)(4 − y) = 3 ABC

Так как $x + y = 4$ , то получаем уравнение

y2 − 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1; y = 3

Если $y = 1$ , то $x = 3$ ; если $y = 3$ , то $x = 1$ .
Так как $AC$ – большая сторона, то $AC > BC » class=»math» width=»auto»>, откуда <img decoding=$ .
Следовательно, $AB = 4, AC = 8,BC = 6$ .
По теореме косинусов

2 2 2 cos∠ABC = AB---+-BC---−--AC-- = − 1- 2AB ⋅ BC 4

Следовательно, $√15- sin∠ABC = ----- 4$ . Тогда

√ --- tg∠ABC = − 15