Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №35

Просмотров 6 Комментарии 0

Точки $B1$ и $C1$ лежат на сторонах $AC$ и $AB$ треугольника $ABC,$ причем $AB1 :B1C = AC1 :C1B.$ Прямые $BB1$ и $CC1$ пересекаются в точке $O.$

а) Докажите, что прямая $AO$ делит пополам сторону $BC$ .

б) Найдите отношение площади четырехугольника $AB1OC1$ к площади треугольника $ABC,$ если известно, что $AB1 :B1C = AC1 :C1B = 1:2.$

а) Пусть $AO$ пересекает $BC$ в точке $A1.$ Тогда по теореме Менелая для $△BAA1$ и прямой $CC1 :$

BC1-⋅-AO- ⋅ A1C-= 1 C1A OA1 CB

По теореме Менелая для $△CAA1$ и прямой $BB1 :$

AB1- -CB- A1O- B1C ⋅BA1 ⋅OA = 1

Перемножив два этих равенства, получим:

A1C-= 1 ⇒ A1C = A1B A1B

$PIC$

б) Из первого равенства имеем:

BC1 AO A1C 2 AO 1 C1A-⋅OA1-⋅-CB- =1 ⇒ 1 ⋅OA1 ⋅2 = 1

Отсюда $AO = OA1.$

Пусть $SOAC1 = S,$ тогда $SOBC1 = 2S,$ так как площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания. Так как $AO =OA1,$ то $3S = SOBA = SOBA1.$ Аналогично $SOCA1 = SOBA1 =3S.$ Аналогично $SOCA = SOCA1 = 3S.$ Так как $S :S =1 :2, OAB1 OCB1$ то $S = S,S = 2S. OAB1 OCB1$

$PIC$

Следовательно,

SAB1OC1= -2S = 1 SABC 12S 6

Задачи формата ЕГЭ