Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №34

Дан треугольник $ABC,$ на стороне $BC$ которого взята точка $E$ так, что $BE = AB,$ а на стороне $AC$ взята точка $D$ так, что $AD =DE.$ На стороне $AC$ также взята точка $F$ так, что $EF ∥BD.$

а) Докажите, что $CF ⋅AB = AD ⋅CE.$

б) Найдите площадь треугольника $ABC,$ если известно, что $∠AED = ∠CEF = 30∘$ и $CL = 6,$ где $L$ — точка пересечения прямых $AB$ и $ED.$

а) Перепишем равенство, которое нужно доказать, в следующем виде:

CF CE CF CE AD- = AB- ⇔ ED- = EB- (∗)

Докажем, что $ED = FD.$ Тогда из обобщенной теоремы Фалеса, так как $EF ∥DB,$ будет следовать, что равенство $(∗)$ верно.

$PIC$

Углы $∠ADB = ∠AF E$ как соответственные при $EF ∥DB$ и $AC$ секущей. Углы $∠BDE = ∠FED$ как накрест лежащие при $EF ∥DB$ и $ED$ секущей.

Так как $△ADB = △EDB$ по трем сторонам, то $∠ADB = ∠BDE.$ Следовательно,

∠FED = ∠BDE =∠ADB = ∠AF E

Таким образом, $△DF E$ равнобедренный и $ED = FD.$

б) Проведем $AE.$ Четырехугольник $ADEB$ — дельтоид, следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AE ⊥DB.$ Докажем это.

Пусть $AE ∩ DB = O.$ Так как $△ADE$ равнобедренный, то $DO$ — высота, следовательно, $DB ⊥ AE.$ Следовательно, $∠F EO = ∠DOE = 90∘,$ так как если $OE ⊥DB,$ $DB ∥F E,$ то $OE ⊥ FE.$

Заметим, что

∠DEF = 90∘ − 30∘ =60∘,

следовательно, $△DEF$ — равносторонний, то есть $FE = DF = DE.$

Также заметим, что

∠DEO = ∠DAO = ∠DBE = ∠DBA = 30∘.

При этом

∠OAB = 90∘− ∠OBA = 60∘.

Следовательно, $∘ ∠BAC = 90,$ $∘ ∠ABC = 60 ,$ таким образом, $∘ ∠ACB = 30.$

$PIC$

Таким образом, $△CF E$ равнобедренный $(∠FEC =∠F CE = 30∘),$ следовательно, $FC = FE = FD.$ Следовательно, точки $D$ и $F$ разбивают $AC$ на три равных отрезка.