Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №33

Просмотров 10 Комментарии 0

Окружность, вписанная в трапецию $ABCD,$ касается боковых сторон $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции равна сумме квадратов длин боковых сторон трапеции.

б) Найдите площадь трапеции $ABCD,$ если известно, что $AK = 9,$ $BK = 4,$ $CM = 1.$

а) Так как окружность вписана, то ее центр лежит на пересечении биссектрис углов трапеции. Следовательно, $∠KAO = ∠NAO,$ $∠KBO = ∠LBO.$ Так как по определению трапеции $∠A + ∠B = 180∘,$ то

1 ∠KAO + ∠KBO = 2 ⋅(∠A + ∠B)= 90∘ ∠AOB = 180∘− 90∘ = 90∘

$PIC$

Аналогично доказывается, что $∘ ∠COD = 90 .$ Тогда из прямоугольных $△AOB$ и $△COD$ имеем:

AO2 +BO2 = AB2 CO2 +DO2 = CD2 2 2 2 2 2 2 AO +BO + CO + DO = AB +CD

б) Так как окружность вписана, то имеем:

AK = AN =9, BK = BL = 4 CL = CM = 1, DN = DM =x

Обозначим также радиус окружности за $r.$

По теореме Пифагора из прямоугольных $△BKO$ и $△AKO$ имеем:

BO2 = 16+ r2, AO2 =81 +r2

Тогда в прямоугольном $△AOB :$

81+ r2 +16+ r2 = 132 ⇒ r = 6

$PIC$

Аналогично в прямоугольных $△CMO,$ $△DMO,$ $△COD$ имеем:

2 2 2 CO =37, DO = 36 +x 37+ 36+ x2 = (x+ 1)2 ⇒ x= 36

Тогда площадь трапеции равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности:

SABCD = (9+ 4+ 1+ 36)⋅6= 300

Задачи формата ЕГЭ