Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №30

Просмотров 6 Комментарии 0

$ABCDEF$ – выпуклый шестиугольник, про который известно, что $∠A > 120∘ » class=»math» width=»auto»>, <img decoding=$ , $∠C ≥ 130∘$ , $∠E ≥ 110 ∘$ .

а) Докажите, что около хотя бы одного из четырёхугольников $ABCD$ , $ACDE$ и $ACDF$ нельзя описать окружность.

б) Найдите периметр $ABCDEF$ , если $AB + CD + EF = 11$ и в $ABCDEF$ можно вписать окружность.

а) Если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника $ACD$ .

Если около четырёхугольника $ACDE$ можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника $ACD$ .

Если около четырёхугольника $ACDF$ можно описать окружность, то она будет описанной и для треугольника $ACD$ .

Так как около треугольника можно описать ровно одну окружность, то описанные около четырёхугольников $ABCD$ , $ACDE$ и $ACDF$ окружности должны совпасть, следовательно, тогда шестиугольник $ABCDEF$ также будет вписанным.

Таким образом, достаточно показать, что около $ABCDEF$ нельзя описать окружность.

$PIC$

Пусть шестиугольник $ABCDEF$ – вписанный, тогда

∠A + ∠C + ∠E = 0,5⋅ ⌣ BCDEF + 0,5⋅ ⌣ BAF ED + 0,5⋅ ⌣ FABCD = = 0,5(360 ∘− ⌣ BAF ) + 0,5(360∘− ⌣ BCD ) + 0, 5(360∘− ⌣ F ED ) = = 540 ∘ − 0,5(⌣ BAF + ⌣ BCD+ ⌣ F ED ) = 360∘,

но $∠A + ∠C + ∠E > 360 ∘ » class=»math» width=»auto»>, следовательно, около <img decoding=$ нельзя описать окружность, откуда следует, что около хотя бы одного из четырёхугольников $ABCD$ , $ACDE$ и $ACDF$ нельзя описать окружность.

б) $PIC$

Пользуясь тем, что отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны, обозначим длины отрезков касательных, проведённых из точки $A$ , через $a$ , длины отрезков касательных, проведённых из точки $B$ , через $b$ и т.д.

11 = AB + CD + EF = a + b + c + d + e + f = 0,5 ⋅ PABCDEF ,

откуда $PABCDEF = 22$ .