Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $P$ , а на продолжении стороны $AB$ за вершину $A$ отмечена точка $Q$ так, что $BP = PQ$ .

а) Докажите, что $AC$ равно длине ломаной $QAP$ .

б) Найдите площадь четырёхугольника $BQP C$ , если $AP = 2$ , $PC = 4$ .

а) Равенство длин $AC$ и ломаной $QAP$ равносильно равенству длин $AQ$ и $P C$ .

На стороне $AB$ отметим точку $T$ так, что $AT = AP$ . Так как $△ABC$ – равносторонний, то $AB = AC$ , следовательно,

AT AP ---- = ----. AB AC

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AT P$ :

AT AP ----= ---, ∠P AT — о бщ ий, AB AC

следовательно, они подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними, откуда

AT--= AP--= P-T-, AB AC BC

следовательно, $P T = AP = AT$ .

$PIC$

Так как треугольник $∠AP T$ – равносторонний, то $∠AT P = ∠T AP = 60∘$ , откуда $∠BT P = ∠QAP$ .

Кроме того, так как $P Q = BP$ , то $∠AQP = ∠ABP$ . Из этого следует, что

∠AP Q = 180∘ − ∠AQP − ∠QAP = 180∘ − ∠ABP − BT P = ∠BP T,

следовательно, треугольники $BT P$ и $AP Q$ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда

AQ = BT = AB − AT = AC − AP = P C.

б) $AQ = P C = 4$ . Так как $∠BAC = 60 ∘$ , то $∠QAP = 120 ∘$ , тогда

√ -- S △QAP = 0,5 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ sin 120∘ = 2 3.

Так как $△ABC$ – равносторонний с длиной стороны $6$ , то

62√3-- √ -- S△ABC = ------= 9 3. 4

Таким образом,

√ -- SBQP C = S △QAP + S△ABC = 11 3.

Задачи формата ЕГЭ