Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №29

Просмотров 6 Комментарии 0

Известно, что многочлен $P (x)$ имеет вид: $P(x)=ax2+ bx+c.$

а) Доктор Ватсон узнал числа $P(0),$ $P(1),$ $P(− 1).$ Может ли он однозначно восстановить $P(x)?$

б) Джим Мориарти знает числа $P(0),$ $P (1),$ $P(2).$ Он собирается восстановить $P(x).$ Какой ответ он должен получить?

в) Шерлок Холмс утверждает, что если и можно восстановить $P(x),$ зная только числа $P (n − 1),$ $P(n),$ $P(n+ 1)$ для какого-то целого $n$ , то он находится однозначно. Прав ли он?

Для того, чтобы найти $P(x),$ необходимо и достаточно найти числа $a,$ $b,$ $c.$ Попробуем найти их.

а)

(| P(0) = c { |( P(1) = a + b+ c P(− 1) = a− b+ c

Тогда

$pict$

Подставляя полученные $a,$ $b$ и $c$ в исходную систему, убеждаемся, что они действительно подходят.

б)

(| P(0) = c { |( P(1) = a + b+ c P(2) = 4a + 2b + c

Тогда

$pict$

Подставляя полученные $a,$ $b$ и $c$ в исходную систему, убеждаемся, что они действительно подходят, следовательно,

2 P (x ) = (0,5P (0) − P(1)+ 0,5P(2))x +(− 1,5P (0)+ 2P(1)− 0,5P(2))x + P(0)

в) Покажем, что Шерлок Холмс прав:

( |{ P(n− 1) = a(n − 1)2 + b(n − 1)+ c P(n) = an2 + bn + c |( 2 P(n+ 1) = a(n + 1) + b(n + 1)+ c

Тогда

P (n − 1)+ P(n + 1) (n − 1)2 + (n + 1)2 ------------------= a⋅ ----------------+ bn+ c = a(n2 + 1)+ bn+ c = P (n)+ a 2 2

Значит,

a = P(n-−-1)+-P(n+-1)-− P(n) 2

Рассмотрим разность $P (n+ 1)− P (n ) :$

P (n + 1)− P(n) = a(2n + 1)+ b ⇒ b = P(n+ 1)− P (n)− a(2n+ 1)

Но число $a$ нам уже известно, тогда отсюда находим $b.$ Кроме того, имеем:

2 2 P(n) = an + bn + c ⇒ c = P(n)− an − bn

Но $a$ и $b$ нам известны, следовательно, находим $c.$

Таким образом, искомые числа $a,$ $b$ и $c,$ если они существуют, находятся однозначно.

Задачи формата ЕГЭ