Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №28

Просмотров 7 Комментарии 0

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, $O$ – точка пересечения $AE$ и $CD$ . При этом $∠EAC = ∠DCB$ , $∠BAE = ∠OBC$ .

а) Докажите, что $E$ – середина $BC$ .

б) Точка $A1$ симметрична точке $A$ относительно прямой $BC$ . Сколько различных окружностей можно описать около четырёхугольника $OBA1C$ ?

а) Рассмотрим треугольники $AEC$ и $OEC$ : $∠EAC = ∠DCB$ , $∠AEC$ – общий, тогда треугольники $AEC$ и $OEC$ подобны (по двум углам), откуда

EC-- OE-- 2 AE = EC ⇒ EC = OE ⋅ AE.

Рассмотрим треугольники $ABE$ и $OBE$ : $∠BAE = ∠OBC$ , $∠AEB$ – общий, тогда треугольники $ABE$ и $OBE$ подобны (по двум углам), откуда

BE OE 2 2 ---- = ---- ⇒ BE = OE ⋅ AE = EC , AE BE

откуда в силу того, что $BE > 0 » class=»math» width=»auto»>, <img decoding=$ .

$PIC$

б) Пусть $AF$ – высота в треугольнике $ABC$ . Так как точка $A1$ симметрична точке $A$ относительно прямой $BC$ , то $AF = FA1$ , тогда треугольники $ABF$ и $A1BF$ равны по двум катетам ( $BF$ – общий), следовательно, $AB = A1B$ .

$PIC$

Аналогично треугольники $AF C$ и $A1F C$ равны, откуда $AC = A1C$ .

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A1BC$ : $BC$ – общая, $AB = A1B$ , $AC = A1C$ , тогда треугольники $ABC$ и $A1BC$ равны по трём сторонам, тогда $∠BAC = ∠BA1C$ .

∠BOC = 180∘ − ∠OBC − ∠OCB = 180∘ − ∠BAE − ∠EAC = 180∘ − ∠BAC = 180∘ − ∠BA1C,

тогда $∠BOC + ∠BA1C = 180∘$ . Так как $A1BOC$ – четырёхугольник, то сумма его углов равна $360∘$ , следовательно, суммы его противоположных углов равны по $∘ 180$ и, значит, около него можно описать окружность (и притом только одну).