Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №27

Просмотров 6 Комментарии 0

$ABCD$ – параллелограмм, точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AD$ и $CD$ соответственно. $AN$ пересекается с $BM$ в точке $P$ , $AN$ пересекается с $CM$ в точке $Q$ , $BN$ пересекается с $CM$ в точке $R$ .

а) Докажите, что площади четырёхугольников $AQCD$ и $M BN Q$ равны.

б) Найдите $P-M-- RN$ , если $∠P RM = ∠RM N$ и около $P RN M$ можно описать окружность.

а) Рассмотрим треугольник $ABN$ : его площадь равна $0,5 ⋅ AB ⋅ h1$ , где $h1$ – длина высоты, опущенной из точки $D$ на $AB$ , следовательно, $SABN = 0,5 ⋅ SABCD$ .

$PIC$

Рассмотрим треугольник $BM C$ : его площадь равна $0,5 ⋅ BC ⋅ h2$ , где $h2$ – длина высоты, опущенной из точки $D$ на $BC$ , следовательно, $S = 0, 5 ⋅ S BMC ABCD$ , тогда

SABM + SMCD = 0,5 ⋅ SABCD.

Таким образом, $SABN = SABM + SMCD$ , откуда

(SABP + SPBN ) = (SABP + SAP M ) + SMCD ⇔ SPBN = SAP M + SMCD.

тогда

S + S = S + S + S , PBN P QM AP M MCD PQM

но $SP BN + SP QM = SMBNQ$ , а $SAP M + SMCD + SP QM = SAQCD$ .
В итоге $SMBNQ = SAQCD$ , что и требовалось доказать.

б) $PIC$

Так как $∠P RM = ∠RM N$ , то внутренние накрест лежащие углы при прямых $P R$ , $M N$ и секущей $M R$ равны, следовательно, $P R ∥ M N$ , следовательно, $PRN M$ либо параллелограмм, либо трапеция, а $∠M P R + ∠P M N = 180∘$ , как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей.

Так как около $P RN M$ можно описать окружность, то $∘ ∠P M N + ∠P RN = 180$ , откуда $∠P RN = ∠M P R$ , то есть $PRN M$ либо прямоугольник, либо равнобедренная трапеция. В любом случае $P M = RN$ , следовательно,

PM---= 1. RN