Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №26

Просмотров 7 Комментарии 0

$ABCD$ – выпуклый четырёхугольник, точки $P$ , $Q$ , $R$ и $S$ середины его сторон, причём $P QRS$ тоже выпуклый четырёхугольник. $A1B1C1D1$ другой выпуклый четырёхугольник с серединами сторон в точках $P$ , $Q$ , $R$ и $S$ .

а) Докажите, что диагонали $PQRS$ точкой пересечения делятся пополам.

б) Найдите максимально возможное значение величины $SA1B1C1D1- SABCD$ .

а) Проведём диагонали $AC$ и $BD$ .

$PIC$

Рассмотрим треугольники $AP S$ и $ABD$ : $P S$ – средняя линия в треугольнике $ABD$ , тогда треугольники $AP S$ и $ABD$ подобны, причём $-PS- 1- BD = 2$ .

Аналогично $QR--= 1- BD 2$ , следовательно, $P S = QR$ .

Аналогично доказывается равенство $P Q = RS$ . В итоге в выпуклом четырёхугольнике $P QRS$ противоположные стороны равны, тогда $P QRS$ – параллелограмм, следовательно, его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

б) Докажем, что по взаимному расположению середин сторон выпуклого четырёхугольника его площадь восстанавливается однозначно.

Из подобия $AP S$ и $ABD$ получаем:

( )2 SAP-S- 1- 1- S = 2 = 4. ABD

Аналогично $4S = S QCR CBD$ , $4S = S PBQ ABC$ , $4S = S SDR ACD$ . Тогда

SABCD = SABD + SCBD = 4SAP S + 4SQCR.

С другой стороны,

SABCD = SABC + SACD = 4SP BQ + 4SSDR,

тогда

SABCD + SABCD = 4SAP S + 4SQCR + 4SP BQ + 4SSDR ⇔

1- SAPS + SQCR + SP BQ + SSDR = 2SABCD.

Но $SABCD = SAP S + SQCR + SPBQ + SSDR + SPQRS$ , откуда окончательно

1 SP QRS = --SABCD. 2

Таким образом, по взаимному расположению точек $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ однозначно восстанавливается площадь параллелограмма $PQRS$ , а значит и площадь любого выпуклого четырёхугольника с серединами сторон в точках $P$ , $Q$ , $R$ и $S$ .

В итоге

SA1B1C1D1- SABCD = 1.