Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №25

Просмотров 6 Комментарии 0

Радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен трети одной из его высот.

а) Докажите, что одна из сторон треугольника $ABC$ равна среднему арифметическому двух других его сторон.

б) Найдите наибольшее возможное значение периметра такого треугольника, если одна из его сторон равна $4$ , а две другие имеют целые длины.

а) $SABC = p ⋅ r$ , где $p$ – полупериметр, а $r$ – радиус вписанной в $ABC$ окружности. $PIC$

Пусть $h$ – длина той высоты, которая равна $3r$ , $a$ – длина стороны, высота к которой имеет длину $h$ , $P$ – периметр треугольника $ABC$ .

В итоге имеем:

1 h -h ⋅ a = SABC = p ⋅ r = p ⋅-, 2 3

откуда $P- a = 3$ , тогда $2P- b + c = 3 = 2a$ , где $b$ и $c$ длины других сторон треугольника.

б) Длины сторон треугольника $ABC$ образуют арифметическую прогрессию: если обозначить $a − c = d$ , то $a = c + d$ , $b = c + 2d$ .

Пусть $d > 0 » class=»math» width=»auto»>. Тогда <img decoding=$ наибольшая сторона треугольника $ABC$ и существование треугольника $ABC$ с длинами сторон $a$ , $b$ и $c$ равносильно выполнению неравенства

b < a + c ⇔ c + 2d < 2c + d ⇔ d < c.

Так как длины всех сторон треугольника $ABC$ – целые числа, то $d$ – целое, следовательно, $d ≤ c − 1$ .

Так как $c$ – меньшая из сторон, то $c ≤ 4$ , тогда $d ≤ 3$ , откуда $a ≤ 7$ , $b ≤ 10$ , тогда

P △ABC ≤ 4 + 7 + 10 = 21.

При этом случай $c = 4$ , $a = 7$ , $b = 10$ подходит, следовательно, при $d > 0 » class=»math» width=»auto»> максимально возможный периметр равен 21. </p> <p class=$

При $d = 0$ треугольник $ABC$ равносторонний и $P △ABC = 12 < 21$ .

Случай $d < 0$ рассматривается аналогично (меняется только то, что $c > a > b » class=»math» width=»auto»>, следовательно, достаточно в рассуждении из случая <img decoding=$ и $c$ ).

Таким образом, наибольший возможный периметр треугольника $ABC$ равен 21.