Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №24

Внутри острого угла $∠XOY$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $∠XON = ∠Y OM$ . На отрезке $OX$ выбрана точка $Q$ так, что $∠N QX = ∠M QO$ , а на отрезке $OY$ выбрана точка $P$ так, что $∠N P O = ∠M PY$ .

а) Докажите, что треугольники $M PN$ и $M QN$ имеют одинаковые периметры.

б) Пусть $R1$ и $R2$ – радиусы окружностей, описанных около треугольников $P OM$ и $N OQ$ соответственно.

Н ай дите R1-, если P N = M Q. R2

а) Достаточно показать, что $M P + P N = M Q + QN$ .

На продолжении отрезка $M Q$ за точку $Q$ отметим точку $N ′$ так, что $QN ′ = QN$ . На продолжении отрезка $M P$ за точку $P$ отметим точку $N ′′$ так, что $PN ′′ = P N$ .

Пусть $S$ – точка пересечения $′ N N$ и $OX$ , $R$ – точка пересечения $′′ N N$ и $OY$ .

$PIC$

Рассмотрим треугольники $N QS$ и $′ N QS$ :

′ ′ ∠N QS = ∠M QO = ∠SQN (ка к вертик альны е), N Q = N Q , QS — о бща я,

тогда треугольники $N QS$ и $N ′QS$ равны и $OX$ – серединный перпендикуляр к $N N ′$ .

Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $N N ′$ , то она равноудалена от точек $N$ и $N ′$ , откуда $N O = N ′O$ .

Кроме того, $OS$ – серединный перпендикуляр, проведённый к основанию равнобедренного треугольника, тогда $OS$ – биссектриса угла $′ ∠N ON$ , следовательно, $′ ∠SON = ∠N OS$ .