Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №20

Просмотров 6 Комментарии 0

Вершины квадрата $P QRS$ лежат на сторонах треугольника $ABC$ ( $P$ лежит на $AB$ , $Q$ и $R$ лежат на $BC$ , $S$ лежит на $AC$ ). $AK$ – высота в треугольнике $ABC$ .

а) Докажите, что если $∠BAC = 90∘$ , то $BP ⋅ AS = AP ⋅ CS$ .

б) Найдите $P Q ---- BC$ , если $1 AK = -BC 2$ .

а) Рассмотрим треугольники $AP S$ и $P BQ$ : $∠BQP = 90∘ = ∠P AS$ . Так как $∠SP Q = 90∘$ , то $∠AP S + ∠BP Q = 90∘$ , откуда $∠AP S = ∠P BQ$ , следовательно, треугольники $AP S$ и $P BQ$ подобны по двум углам.

$PIC$

Из подобия этих треугольников получаем:

PS AS ---- = ----, BP P Q

но $P S = PQ$ , тогда $P S2 = AS ⋅ BP$ .

Аналогично треугольники $AP S$ и $SCR$ подобны по двум углам, откуда

PS AP ----= ----, SC SR

но $P S = SR$ , тогда $P S2 = AP ⋅ SC$ .

В итоге

AS ⋅ BP = PS2 = AP ⋅ SC,

что и требовалось доказать.

б) Так как $P QRS$ квадрат, то $P S ∥ QR$ , откуда следует равенство $∠AP S = ∠ABC$ как односторонних углов при параллельных прямых и секущей, а также то, что $AK ⊥ P S$ . Пусть $M$ – точка пересечения $AK$ и $P S$ .