Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ биссектриса $AE$ равна отрезку $EB$ . На продолжении $AE$ за точку $E$ взята точка $D$ так что $ED = CE$

а) Докажите, что $CD ∥ AB$ .

б) Найдите $∠ABC$ , если $AB = 2 ⋅ AC$ .

а) Треугольники $ABE$ и $CED$ – равнобедренные, у которых углы при вершине равны (как вертикальные), следовательно, они подобны (по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними).

Тогда $∠ABC = ∠ECD$ , следовательно, $AB ∥ CD$ (так как внутренние накрест лежащие углы при прямых $AB$ , $CD$ и секущей $CB$ равны).

$PIC$

б) Соединим точку $E$ с точкой $F$ – серединой $AB$ . Так как треугольник $ABE$ – равнобедренный, то $EF$ также является высотой и $∘ ∠AF E = 90$ . ()AC = 0,5AB = AF,CAE = EAF,AE () следовательно, треугольники $AF E$ и $AEC$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Таким образом, $∠ACB = 90∘$ , откуда $∠ABC + ∠BAC = 90∘$ , но $∠BAC = 2∠ABC$ , тогда

∘ ∘ 3 ⋅ ∠ABC = 90 ⇒ ∠ABC = 30 .