Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №19

Точка $K$ – середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ . На катетах $AC$ и $BC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно так, что угол $∠M KN = 90 ∘$ .

а) Докажите, что площадь треугольника, составленного из отрезков $AM$ , $BN$ и $M N$ , равна $0,5 ⋅ AM ⋅ BN$ .

б) Найдите $SMCNK$ , если $CN = KN = x$ , $BC = AC$ .

а) Пусть $AM = a$ , $BN = b$ .
Достаточно доказать, что треугольник, составленный из отрезков $AM$ , $BN$ и $M N$ – прямоугольный с гипотенузой $M N$ , для этого достаточно доказать, что

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b = M N ⇐ a + b = M C + CN ⇐ a + b = (AC − a ) + (BC − b) ,

следовательно, достаточно доказать, что

0 = AC2 − 2 ⋅ a ⋅ AC + BC2 − 2 ⋅ b ⋅ BC ⇐ AB2 = 2 ⋅ (a ⋅ AC + b ⋅ BC ).

Окончательно, таким образом, достаточно доказать, что

2 2 AK + BK = a ⋅ AC + b ⋅ BC.

Докажем это.

Так как $∠M KN + ∠M CN = 180 ∘$ , то в четырёхугольнике $M KN C$ суммы противоположных углов равны $∘ 180$ , следовательно, около него можно описать окружность.

Пусть множество точек пересечения описанной около $M KN C$ окружности с $AB$ есть $′ {K, K }$ (т. е., возможно, $K ′$ и $K$ совпадают, но для дальнейшего решения это не важно).

$PIC$

По теореме о секущих

AK ′ ⋅ AK = a ⋅ AC, BK ⋅ BK ′ = b ⋅ BC,

тогда

′ ′ AK ⋅ AK + BK ⋅ BK = a ⋅ AC + b ⋅ BC.

С другой стороны, так как $AK = BK$ , то $KK ′ ⋅ AK = KK ′ ⋅ BK$ , откуда

′ ′ 2 2 ′ ′ (AK − AK ) ⋅ AK = (BK − BK ) ⋅ BK ⇒ AK + BK = AK ⋅ AK + BK ⋅ BK .

Получили, что

2 2 ′ ′ AK + BK = AK ⋅ AK + BK ⋅ BK = a ⋅ AC + b ⋅ BC,

откуда в итоге следует, что площадь треугольника, составленного из отрезков $AM$ , $BN$ и $M N$ , равна

0,5 ⋅ AM ⋅ BN.

б) Покажем, что $M CN K$ – квадрат. Опустим из точки $K$ на $BC$ перпендикуляр $KP$ . Из равнобедренности $ABC$ и подобия треугольников $KBP$ и $ABC$ следует, что $KP = CP$ . Обозначим $N P = y$ , тогда

2 2 2 KN = KP + y , CN = CP ± y,

но $KN = CN$ , тогда

KP 2 + y2 = CP 2 + y2 ± 2y ⋅ CP ⇒ y ⋅ CP = 0,

следовательно, $y = 0$ и точки $N$ и $P$ совпадают.

Итак, в четырёхугольнике $M CN K$ три угла равны по $90∘$ , следовательно, все его углы равны $90∘$ , тогда $M CN K$ – прямоугольник, но у него соседние стороны равны, тогда $M CN K$ – квадрат. $S = x2 MCNK$ .