Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №18

В трапеции $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, $∠BAC = ∠CDB$ . Продолжения сторон $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $K$ , образуя угол $AKD$ , равный $30∘$ .
а) Можно ли вписать окружность в трапецию $ABCD$ ?
б) Найдите площадь треугольника $AKD$ , если площадь трапеции равна $60$ .

а) Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон четырехугольника должны быть равны. Найдем все стороны трапеции $ABCD$ .

$PIC$

Так как $∠BAC = ∠CDB$ , то четырехугольник $ABCD$ является вписанным в окружность. Следовательно, $∠ABD = ∠ACD$ как вписанные углы, опирающиеся на дугу $AD$ . Обозначим $∠BAC = α$ , $∠ABD = β$ . Тогда по свойству угол между секущими равен полуразности дуг, заключенных между ними: $∠AKD = 0,5 ⋅ (2β − 2α )$ .
Но в то же время $α + β = 90∘$ из прямоугольного $△ABO$ ( $O$ – точка пересечения диагоналей трапеции).

Получаем:

( ∘ { { 30 = β − α α = 30 ∘ ⇒ ∘ ( α + β = 90∘ β = 60

Пусть $BO = x$ . Тогда из прямоугольного $△ABO$ , так как $∠BAO = 30∘$ , следует, что $AB = 2x$ . По теореме Пифагора $√ -- AO = 3x$ .
Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная, значит, ее диагонали равны, а также $BO = CO$ и $AO = DO$ . Тогда $CO = x$ , $√ -- DO = 3x$ , следовательно, $√ -- BC = x ⋅ 2$ , $√ -- √ -- AD = 3x ⋅ 2$ .
Проверка:

√ -- √ -- √ -- √ -- AD + BC = AB + CD ⇒ 6x + 2x = 4x ⇒ 6 + 2 = 4

Полученное равенство неверно, следовательно, в трапецию вписать окружность нельзя.

б) Из того, что $∠BAO = ∠CDO = ∠K = 30 ∘$ , следует, что $△AKC$ и $△DBK$ равнобедренные, откуда $AC = CK$ и $DB = BK$ .

Как известно, площадь выпуклого четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними. Следовательно, если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь равна полупроизведению диагоналей:

1- SABCD = 2 ⋅ AC ⋅ DB

Следовательно, получаем:

1 60 = --⋅ CK ⋅ BK ⇒ CK ⋅ BK = 120 2

Так как площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то

1 1 1 SBKC = --⋅ CK ⋅ BK ⋅ sin30 ∘ =--⋅ 120 ⋅-= 30 2 2 2

Следовательно,

SAKD = 60 + 30 = 90