Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №17

Последовательность $a1, a2, ..., an, ...$ состоит из натуральных чисел, причем $an+2 = an+1 +an$ при всех натуральных $n.$

а) Может ли выполняться равенство $4a5 = 7a4?$

б) Может ли выполняться равенство $5a5 = 7a4?$

в) При каком наибольшем натуральном $n$ может выполняться равенство $6nan+1 = (n2+ 24)an?$

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)

а) Пусть $a1 = x,$ $a2 = y.$ Тогда имеем:

a3 = x+ y, a4 = x+ 2y, a5 = 2x+ 3y

Предположим, что выполняется $4a5 = 7a4,$ то есть

4(2x+ 3y)= 7(x +2y) ⇔ x = 2y

Если взять, например, $x= 2,$ $y =1,$ то получим последовательность

2, 1, 3, 4, 7, ...

Следовательно, такое возможно.

б) Аналогично пункту а) имеем:

5(2x+ 3y)= 7(x+ 2y) ⇔ 3x = −y

Следовательно, один из чисел $x$ или $y$ должно быть отрицательным, поскольку оба они не могут быть равны 0, так как последовательность состоит из натуральных чисел. Но это невозможно, так как последовательность состоит из натуральных чисел. Следовательно, ответ: нет.

в) Отметим основные свойства последовательности, где $an+1 = an+ an− 1$ при натуральных $n≥ 2.$ Заметим, что первые два элемента этой последовательности задаются произвольно, а вот каждый следующий, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Следовательно, так как последовательность состоит из натуральных чисел, то каждый элемент, начиная с третьего, больше предыдущего, то есть $an+1 :an > 1 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1174-14.svg» width=»auto»> при <img decoding=$

Это же свойство можно переформулировать по-другому: каждый элемент, начиная со второго, меньше следующего: $an :an+1 < 1$ при $n≥ 2.$ Но тогда

an+1 an−-1 an =1 + an < 1+ 1= 2, n≥ 3

То есть каждый элемент, начиная с 4-ого, менее чем в два раза больше предыдущего.

Предположим, что равенство $6na = (n2+ 24)a n+1 n$ выполняется вплоть до какого-то большого $n,$ то есть $n≥ 3.$ Тогда

2 an+1 = n-+-24< 2 an 6n

Решим неравенство:

n2+ 24 √-- √-- --6n-- < 2 ⇒ n2− 12n + 24< 0 ⇔ n∈ (6− 12;6+ 12)

Так как $n$ — натуральное, а $√-- 9 < 6+ 12< 10,$ то $n≤ 9.$

Следовательно, наибольший элемент, для которого может быть выполнено равенство из пункта в), это $a10.$

Попробуем привести пример. Для этого нам понадобится равенство $an+2 =an+1 +an$ использовать в виде $an = an+2− an+1.$ Также используем то, что каждый элемент последовательности, начиная с третьего, должен быть больше предыдущего.