Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №16

Просмотров 6 Комментарии 0

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$ .

а) Докажите, что высота $CH$ делит основание $AD$ на отрезки, отношение которых равно $2 : 1$ .

б) Найдите расстояние от точки $C$ до середины диагонали $BD$ , если $AC = 26,AD = 36$ .

а) Проведем $BK ⊥ AD$ . Тогда по свойству равнобедренной трапеции $AK = HD = (AD − BC ) : 2 = (3BC − BC ) : 2 = BC$ . Тогда $AH = AD − HD = 2BC$ , откуда $AH : HD = 2 : 1$ , чтд.

$PIC$

б) Пусть $O$ – середина $BD$ , $H$ – точка пересечения продолжения отрезка $CO$ с основанием $AD$ . Так как трапеция равнобедренная, то ее диагонали равны, следовательно, $BD = 26$ .

$PIC$
Так как $BC ∥ AD$ , то $∠CBO = ∠HDO$ как накрест лежащие при секущей $BD$ .
Тогда $△CBO = △HDO$ по 2-ому признаку ( $∠BOC = ∠DOH$ как вертикальные), откуда $HD = BC$ .
Из пункта а) следует, что так как $HD = BC$ , то $H$ – основание высоты, то есть $CH ⊥ AD$ .
Значит, $CH ⊥ BC$ , то есть $△CBO$ прямоугольный.
Так как $BC = 1AD = 12 3$ , $BO = 1BD = 13 2$ , то

√ --2-----2- CO = 13 − 12 = 5