Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №15

Просмотров 5 Комментарии 0

Для последовательности целых чисел $a1,a2,...,a10$ и любого натурального числа $k ≤8$ верно неравенство $ak +ak+2 < 2ak+1.$

а) Приведите пример последовательности для $a1 = a10 = 1.$

б) Существует ли такая последовательность при $a1+ a10 = 2a6?$

в) Найдите наибольшее значение выражения $a1− a4− a7+ a10.$

а) Перепишем неравенство $ak +ak+2 <2ak+1$ в другом виде:

ak+2− ak+1 < ak+1− ak

Если $d k$ — разность $a k+1$ и $a , k$ то неравенство значит, что d > d . k k+1 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1134-6.svg» width=»auto»> То есть последовательность разностей между двумя соседними «ашками» — строго убывающая последовательность целых чисел. </p>
<p class= Пусть $a1 =1.$ Возьмем $d1 = 4,$ $d2 = 3,$ $d3 =2$ и так далее. Получим последовательность «ашек»:

1, 5, 8, 10, 11, 11, 10, 8, 5, 1

Видим, что $a1 = a10 = 1.$

б) Предположим, что существует такая последовательность. Тогда, с одной стороны,

a6 =a1 +d1+ d2+ d3+ d4+ d5

C другой стороны,

a6 = a10− d9 − d8 − d7− d6

Следовательно, равенство $a1 +a10 = 2a6$ примет вид

a1+ a10 = a1+ d1 +d2 +d3+ d4+ d5+ a10 − d9 − d8− d7− d6 ⇒ d1+ d2+ d3+ d4+d5 = d6 +d7+ d8+ d9 (∗)

Это равенство выполняется например при

d1 = − 16, d2 = −17, d3 = − 18, d4 = −19, d5 =− 20

d6 =− 21, d7 = −22, d8 = −23, d9 = − 24

Действительно, имеем:

−16− 17− 18− 19− 20= −21 − 22− 23− 24

Возьмем $a1 = 0,$ получим пример подходящей последовательности:

0, −16, − 33, −51, − 70, −90, − 111, −133, −156, − 180

в) Далее имеем:

a4 = a1 +d1 +d2+ d3, a7 = a10− d9− d8− d7

Следовательно,

a1 − a4 − a7+ a10 = −d1− d2− d3+ d7+ d8+ d9 =

= (d7− d1) +(d8− d2)+(d9− d3)

Наибольшее возможное значение для $d7− d1$ — когда $d1, d2, ..., d9$ представляют собой последовательные целые числа. Тогда $d7− d1 ≤ −6.$ Например, подходят числа