Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №14

Просмотров 6 Комментарии 0

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C1$ и $B1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB1C1.$

б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $∠A = 30∘,$ $B1C1 = 5$ и площадь треугольника $AB1C1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BCB1C1.$

а) Четырехугольник $BCB1C1$ вписанный, следовательно, суммы его противоположных углов равны $180∘.$

$PIC$

То есть $∘ ∠B +∠CB1C1 = 180 .$ Но $∘ ∠CB1C1 + ∠AB1C1 = 180 ,$ откуда $∠B = ∠AB C . 1 1$ Следовательно, $△ABC ∼AB C 1 1$ по двум углам (второй угол $∠A$ — общий).

б) Пусть $SBCB1C1 = 5S,$ $SAB1C1 = S,$ следовательно, $SABC = 6S.$ Тогда $SABC :SAB1C1 = 6 :1= k2,$ откуда $k = √6.$ Тогда

√ - BC = B1C1⋅k = 5 6

Найдем радиус $R$ окружности.

Способ 1.

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

∠A = ∠BB1C − ∠B1BC1.

Обозначим $∠BB1C = α,$ $∠B1BC1 =β.$ Тогда $α − β = 30∘.$

Окружность описана около треугольников $BB1C$ и $B1BC1,$ следовательно, по теореме синусов

√- -BC- = 2R = B1C1- ⇒ sinα = 6 sinβ sinα sinβ

$PIC$

Отсюда:

sin (30∘+ β)= √6 sinβ √ - sin30∘⋅cosβ+ cos30∘ ⋅sinβ = 6sinβ √-( √ - ) cosβ = 3 2 2− 1 sin β ctgβ = √3(2√2 − 1)

Тогда по формуле $1 +ctg2β = -1--- sin2β$ имеем:

sinβ = -∘--1-√-- 2 7 − 3 2

Следовательно,

∘ ------- R = B1C1-= 5 7− 3√2 2sin β

Способ 2.

Проведем $C1D ∥ AC :$

$PIC$

Тогда $∠BC1D = ∠A;$ также $∠BC1D = ∠BCD$ как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Так как $C1D ∥B1C,$ то $CD = B1C1,$ следовательно, в $△BCD :$ $∘ ∠C = 30,$ $CD =5,$ $BC = 5√6.$

Следовательно, по теореме косинусов:

( √-) BD2 = BC2 + CD2 − 2⋅BC ⋅CD ⋅cos30∘ = 25 7− 3 2 ∘ ----√-- BD = 5 7− 3 2

Тогда по теореме синусов, так как окружность описана около $△BCD :$

∘ ------- R = ---BD-----= 5 7− 3√2- 2sin∠BCD

Задачи формата ЕГЭ