Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №12

Просмотров 6 Комментарии 0

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC,$ перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K.$ При этом $AK :KC = 1 :2.$

а) Докажите, что $∠BAC =30∘.$

б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пересекаются в точке $P,$ а прямые $AP$ и $BK$ — точке $Q.$ Найдите $KQ,$ если $√ - BC =2 3.$

а) Пусть $AK = x, KC = 2x.$ Проведем $BL ∥ MK.$ Тогда по обобщенной теореме Фалеса имеем:

BM--= 1= LK- MA 1 KA LK = KA =x ⇒ CL = x

Тогда также по обобщенной теореме Фалеса

CL- = 1= CO-- ⇒ CO =OM LK 1 OM

$PIC$

Следовательно, $BO$ — медиана и высота в треугольнике $CBM,$ поскольку

MK ⊥ CM, BO ∥MK ⇒ BO ⊥ CM

Тогда $△CBM$ равнобедренный и $CB = BM.$ Следовательно, $CB = 1BA. 2$ Так как катет, равный половине гипотенузы, лежит напротив угла $30∘,$ то $∠BAC = 30∘.$

б) Рассмотрим $△P MC.$ В нем $∠P MC = 90∘.$ Так как $BM = BC,$ то имеем:

∠BCM = ∠BMC = 60∘ ∘ ∠CP M = 30 = ∠P MB ⇒ BP =BM

То есть $B$ — середина $CP.$ Проведем $BS ∥AP.$ Тогда $BS$ — средняя линия треугольника $AP C.$ Значит, $CS = SA.$

Из прямоугольного $△ABC$ имеем:

∘ BC- √- tg30 = AC ⇒ AC = BC ⋅ 3 = 6

Следовательно, $CS = SA = 3,$ а так как $CK :KA = 2:1,$ то $KA = 2$ и $SK = 1.$

$PIC$

Заметим, что $△BKS ∼ △QKA$ по двум углам, поскольку $∠BKS = ∠QKA$ как вертикальные, $∠BSK = ∠QAK$ как накрест лежащие при $AQ ∥BS$ и секущей $SA.$ Следовательно,