Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №10

Просмотров 7 Комментарии 0

Возрастающие арифметические прогрессии $a1,$ …, $an,$ … и $b1,$ …, $bn,$ … состоят из целых положительных чисел.

а) Приведите пример таких прогрессий, для которых $a2b2 +3a4b4 = 5a3b3.$

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $3a2b2+ a6b6 = 4a3b3?$

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение $a3b3,$ если $3a2b2+ a6b6 ≤ 108?$

а) В качестве примера подходят прогрессии $4,5,6,7,...$ и $2,3,4,5,...,$ то есть $a1 =4,$ $b1 =2,$ а разности у обеих прогрессий равны 1.

В самом деле, для таких прогрессий требуемое равенство верно:

5⋅3+ 3⋅7 ⋅5 = 5⋅6⋅4

б) Пусть разность прогрессии $a1,...$ равна $d$ , а разность прогрессии $b1,...$ равна $˜d.$ Тогда требуемое равенство можно переписать в виде

˜ ˜ 3(a3− d)(b3− d)+ (a3+ 3d)(b3+ 3d) = 4a3b3

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим

˜ 12dd =0

Это противоречит условиям $d ≥ 1$ и $˜d≥ 1$ возрастания прогрессий с целыми положительными членами. Значит, требуемое равенство невозможно.

в) Аналогично пункту б) имеем

3a2b2+ a6b6 = 3(a3− d)(b3− ˜d)+(a3+ 3d)(b3+ 3˜d)= 4a3b3+ 12d˜d

Таким образом, условие пункта в) равносильно условию

˜ ˜ 4a3b3+ 12dd ≤ 108 ⇔ a3b3+ 3dd ≤ 27

Так как $d≥ 1$ и $d˜≥ 1,$ то получаем оценку сверху

a3b3 ≤ 24= 6⋅4

Покажем, что эта оценка достигается. Для прогрессий $4,5,6,7,8,9,...$ и $2,3,4,5,6,7,...$ имеем:

3a2b2+ a6b6 = 3⋅5 ⋅3 +9 ⋅7= 108

Тогда условие пункта в) выполнено и число 24 является наибольшим возможным значением произведения $a3b3.$