Задача к ЕГЭ на тему «Вписанные и описанные тела» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

Дан шар, диаметр которого равен $9$ . Плоскость $α$ пересекает диаметр $SZ$ шара под углом $90 ∘$ и делит его точкой пересечения в отношении $1 : 2$ , считая от вершины $S$ . Найдите объем пирамиды с вершиной в точке $S$ , в основании которой лежит квадрат, вписанный в сечение шара плоскостью $α$ .

$PIC$

Пусть $O$ – центр шара, $Q$ – точка пересечения $SZ$ и плоскости $α$ . Пусть $SABCD$ – пирамида, объем которой нужно найти.
Рассмотрим сечение шара плоскостью $ASC$ .

$PIC$

Так как $SQ : QZ = 1 : 2$ , то $SQ : SZ = 1 : 3$ , следовательно, $SQ : SO = 2 : 3$ , следовательно, $OQ : SO = 1 : 3$ . Тогда