Задача к ЕГЭ на тему «Вписанные и описанные тела» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

У правильной четырёхугольной призмы $ABCDA1B1C1D1$ сторона основания равна $√-- 2 3$ , а площадь одной из боковых граней равна $12$ . Найдите радиус сферы, описанной около $ABCDA1B1C1D1$ .

Так как данная четырёхугольная призма – правильная, то её боковые грани – прямоугольники, следовательно, боковое ребро этой призмы (например, $BB1$ ) равно $√ -- √ -- 12 : (2 3) = 2 3$ .

$PIC$

Пусть точка $O$ – середина $B1D$ , тогда $O$ – центр описанной около $ABCDA1B1C1D1$ сферы. Тогда искомый радиус равен половине $B D 1$ .

Так как $BD$ – диагональ квадрата со стороной $√ -- 2 3$ , то $√ -- √ -- √ -- BD = 2 3 ⋅ 2 = 2 6$ . По теореме Пифагора $2 2 2 B1D = BD + B1B$ , тогда

√ -- √ -- B1D2 = (2 6)2 + (2 3)2 = 24 + 12 = 36 ,

откуда находим: $B1D = 6$ , следовательно, искомый радиус равен $6 : 2 = 3$ .