Задача к ЕГЭ на тему «Вписанные и описанные тела» №5

Просмотров 6 Комментарии 0

$SABCD$ – прямоугольная пирамида, вписанная в цилиндр, а $ABCD$ – квадрат, $SB$ – высота. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $36π$ , а его объем равен $72 π$ . Найдите объем пирамиды.

$PIC$

Если разделить объем цилиндра на площадь боковой поверхности, то можно найти радиус окружностей, лежащих в основаниях цилиндра:

--Vцил.- πR2H--- R- 72π- S = 2πRH = 2 = 36π = 2 бок.пов.

$⇒$ $R = 4$ . Зная радиус, можно выразить высоту: $2π4H = 36π$ $⇒$ $H = 4,5$ . Так как точка пересечения диагоналей квадрата совпадает с центром описанной вокруг него окружности, то диагональ квадрата равна диаметру окружности. Площадь квадрата можно найти как половину произведения диагоналей, тогда объем пирамиды равен:

1- 1- 1- 1- 2 VSABCD = 3H 2(2R )(2R ) = 3 4,52 8 = 48