Задача к ЕГЭ на тему «Вписанные и описанные тела» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите объем вписанной в сферу правильной четырехугольной призмы, две грани которой отсекают от сферы сегменты с высотой $1- h = 4R$ ( $R$ – радиус сферы) и объемом $11π- 3$ .

$PIC$

$( ) ( )2 ( ) V = πh2 R − 1h = π 1R R − 1-1R = π --11--R3 = 11-π сегм. 3 4 3 4 16 ⋅ 12 3$ $⇒$ $R = 4$ . Чтобы найти объем параллелепипеда, найдем площадь грани параллелепипеда, которая вписана в окружность основания сегмента, и умножим ее на длину ребра, перпендикулярного этой грани. Грань, вписанная в окружность основания сегмента, является квадратом. Можем найти диагональ этого квадрата.

$PIC$

Половину диагонали найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника: $( )2 ( )2 2 1- d- R = R − 4 R + 2$ $⇒$ $√ -- d = 2 7$ $⇒$ $( ) 1-2 3- 1- 3- V = 2d 2 4R = 2 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅2 ⋅ 4 = 84$ .