Задача к ЕГЭ на тему «Вписанная и вневписанная окружности» №6

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

(МИОО 2012)

Пусть $ABC$ — треугольник с прямым углом при вершине $C$ . Сразу ясно, что возможны два случая: обе окружности касаются катетов либо одна из окружностей касается гипотенузы.

I случай

Пусть $IA$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$ , $IB$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AC$ . Точки $E$ , $F$ , $G$ , $H$ — соответствующие точки касания с прямыми, содержащими стороны треугольника. Тогда $∠IBF C = ∠CEIB = ∠CGIA = ∠IAHC = 90∘$ , так как соответствующие радиусы в точки касания перпендикулярны касательным, при этом угол $C$ треугольника $ABC$ прямой, значит, $IBF CE$ и $IAHCG$ — прямоугольники. Кроме того, $CF = CE$ , $CG = CH$ как отрезки касательных $⇒ IBF CE$ и $IAHCG$ — квадраты.

Точки $IA$ и $IB$ равноудалены от сторон углов с вершиной в точке $C$ $⇒$ точки $IA$ , $IB$ лежат на биссектрисах этих углов $⇒$ точки $IB$ , $C$ , $IA$ лежат на одной прямой. Окончательно по теореме Пифагора $√ ----------- √------------ √ -- IBIA = IBC + CIA = IBE2 + EC2 + IAH2 + HC2 = 24 2$ .

$PIC$

II случай

Пусть $IA$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$ , $IC$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$ . Точки $E$ , $F$ , $G$ , $H$ — соответствующие точки касания с прямыми, содержащими стороны треугольника. Тогда $∘ ∠ICF C = ∠CEIC = ∠CGIA = ∠IAHC = 90$ , так как соответствующие радиусы в точки касания перпендикулярны касательным, при этом угол $C$ треугольника $ABC$ прямой, значит, $ICF CE$ и $IAHCG$ — прямоугольники. Кроме того, $CF = CE$ , $CG = CH$ как отрезки касательных $⇒ ICF CE$ и $IAHCG$ — квадраты.

Пусть $N$ — точка пересечения прямой $GIA$ и отрезка $EIC$ . Тогда очевидно, что $EN IAH$ — прямоугольник и $N E = IAH = 7$ , $N IA = EH = 24$ , $ICN = ICE − N E = 10$ . Окончательно по теореме Пифагора $ICIA = ∘ICN--2 +-N-I2= 26 A$ .

$PIC$