Задача к ЕГЭ на тему «Вписанная и вневписанная окружности» №5

Просмотров 7 Комментарии 0

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$ , площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне $BC$ . Известно, что $BC = 11$ . Найдите сторону $AB$ .

(МИОО 2013)

Пусть $B1C1$ средняя линия, параллельная $BC$ . $D$ , $E$ , $F$ , $G$ — точки касания вписанной в $ABC$ окружности со сторонами трапеции $CB1C1B$ . Везде далее $p$ — полупериметр $ABC$ , $r$ — радиус вписанной окружности.

$IE ⊥ B1C1$ , $IG ⊥ CB$ как радиусы к точкам касания, тогда $EG = 2r$ .

Пусть $h$ — высота из вершины $A$ треугольника $ABC$ , тогда $h = 2SABBCC-= 12$ .

Пусть $h1$ — расстояние от $A$ до $B1C1$ , $h2$ — расстояние от $B1C1$ до $CB$ . Ясно, что $h = h1 + h2$ , при этом $h1 = h2$ , т.к. $B1C1$ — средняя линия. Значит, $1 2r = EG = h2 = 2h = 6 ⇒ r = 3$ .

Обозначим $AF = y$ , $CG = x$ , тогда $GB = 11 − x$ . $AD = AF = y$ , $BF = BG = 11− x$ , $CG = CD = x$ как отрезки касательных.

$pict$

$PIC$