Задача к ЕГЭ на тему «Вписанная и вневписанная окружности» №4

Просмотров 6 Комментарии 0

Окружность касается стороны $AB$ и продолжения сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC,$ причем $AB = AC = 17,$ $BC = 30.$ Найдите радиус этой окружности.

Так как окружность вписана в угол $BAK,$ то ее центр лежит на его биссектрисе, следовательно, $AO$ — биссектриса $∠BAK.$

Обозначим $∠BAO = ∠KAO = α.$ Тогда имеем:

∘ ∠BAC = 180 − 2α

Так как $△ABC$ — равнобедренный, то

∘ ∘ ∠BAC =180 − 2∠B = 180 − 2∠C

Таким образом, $∠B = ∠C = α.$

$PIC$

Следовательно, углы $∠ACB = ∠KAO$ и являются соответственными при прямых $CB$ и $AO$ и секущей $CA.$ Тогда по признаку $CB ∥AO.$

Проведем $AH ⊥ BC.$ Так как $△ABC$ — равнобедренный, то $AH$ — медиана.

Далее, $AH = OF$ как отрезки перпендикулярных прямых, заключенные между параллельными прямыми $BC$ и $AO.$ Отрезок $AH$ можно найти по теореме Пифагора из $△AHB :$

2 2 2 2 2 2 AH = AB − HB = 17 − 15 = 8

Тогда искомый радиус равен

r = OF = AH = 8

Вписанная и вневписанная окружности