Задача к ЕГЭ на тему «Вписанная и вневписанная окружности» №3

Просмотров 7 Комментарии 0

Окружность касается стороны $BC = 15$ и продолжений сторон $AB =AC =8,5$ треугольника $ABC.$ Найдите радиус этой окружности.

Заметим, что треугольник $ABC$ — равнобедренный. Так как центр окружности равноудален от сторон угла $A,$ то он лежит на биссектрисе этого угла, то есть $AO$ — биссектриса $∠A.$

Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса $AO$ является также медианой и высотой. Следовательно, так как $M$ — точка касания и $OM ⊥ BC,$ то точка $M$ лежит на отрезке $AO.$

$PIC$

Далее, $△ACM ∼ △ANO$ по двум углам. Следовательно,

CM--= AC- ⇒ 152 = --8,5--- ON AO r AM + r

Таким образом, для того, чтобы найти $r,$ нужно сначала найти $AM.$

По теореме Пифагора из $△AMC :$

2 2 2 2 2 AM = AC − MC = 8,5 − 7,5 =16 ⇒ AM = 4

Тогда имеем уравнение:

15 -2 = 8,5- ⇒ r = 30 r 4+ r

Вписанная и вневписанная окружности