Задача к ЕГЭ на тему «Вписанная и вневписанная окружности» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

Катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$ , а гипотенуза равна $c$ . Докажите, что радиус вписанной окружности равен

a +-b −-c 2

1 способ

Рассмотрим прямоугольный $△ABC$ , пусть $BC = a,AC = b,AB = c$ . Проведем радиусы $ON, OK, OM$ в точки касания. Обозначим также радиус $ON = r$ .

$PIC$

Рассмотрим четырехугольник $CN OM$ . У него 3 угла прямые, следовательно, по признаку он является прямоугольником. Также соседние стороны ( $ON = OM = r$ ) у него равны. Следовательно, все его стороны равны $r$ (то есть это квадрат). Таким образом, $CN = CM = r$ .

Значит, $BN = a − r$ , $AM = b − r$ . Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны, то $BK = BN = a − r$ , $AK = AM = b − r$ .
Таким образом, гипотенуза $AB = a − r + b − r = a + b − 2r$ . Но с другой стороны гипотенуза равна $c$ . Таким образом,