Задача к ЕГЭ на тему «Вписанная и вневписанная окружности» №1

Просмотров 8 Комментарии 0

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. Докажите, что ∠AOB + ∠COD =180∘.

Если окружность вписана в многоугольник, то ее центр лежит на пересечении биссектрис углов этого многоугольника. Действительно, окружность вписана в угол A, следовательно, центр окружности лежит на биссектрисе этого угла. Аналогично можно сказать и про остальные углы.

Введем обозначения:

∠A = 2x, ∠B = 2y, ∠C = 2z, ∠D = 2t

 

PIC

 

Сумма углов четырехугольника равна 360∘, следовательно,

2x +2y+ 2z+ 2t= 360∘ ⇒ x+ y+ z+ t= 180∘

Из △AOB имеем:

∠AOB = 180∘− x − y

Из △COD имеем:

∠COD = 180∘− z− t

Таким образом,

∘ ∘ ∠AOB + ∠COD = 180 − x− y+ 180 − z− t= = 360∘ − (x+ y+ z +t)= 360∘− 180∘ =180∘
Вписанная и вневписанная окружности
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!