Задача к ЕГЭ на тему «Внешние углы многоугольника и тригонометрия» №4

Просмотров 6 Комментарии 0

К каждому углу трапеции $ABCD$ построено по одному внешнему углу. Найдите сумму косинусов этих внешних углов.

$PIC$

Пусть $AD ∥BC,$ внешние углы построены как на рисунке (при каждой вершине может быть два внешних угла, но их градусные меры совпадают, а значит, и косинусы этих углов равны и ответ не зависит от выбора угла при каждой вершине).

Сумма внешних углов при вершинах $A$ и $B$ равна $∘ 180$ (так как внешний угол при вершине $A$ и $∠ABC$ равны, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей).

Аналогично сумма внешних углов при вершинах $C$ и $D$ равна $180∘.$

∘ ∘ cos(180 − α )= − cosα ⇒ cos(180 − α)+ cosα = 0,

следовательно, сумма косинусов внешних углов при вершинах $A$ и $B$ равна 0;

аналогично сумма косинусов внешних углов при вершинах $C$ и $D$ равна 0. Таким образом, сумма косинусов внешних углов равна 0.