Задача к ЕГЭ на тему «Векторы на координатной плоскости» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите синус угла между векторами $−−→ ( π π ) M N 3sin--;3cos -- 4 4$ и $−→ ( π π ) P Q 3sin---;3cos --- 12 12$ .

Скалярное произведение векторов с координатами $(x1;y1)$ и $(x2;y2)$ равно

x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2.

В данной задаче

( ) (−M−→N ,−P→Q ) = 3sin π-⋅ 3 sin π-+ 3 cos π-⋅ 3 cos π-= 9 sin π-⋅ sin π--+ cos π-⋅ cos π- = 4 12 4 √12 4 12 4 12 (π π ) π 3 = 9cos -- − --- = 9cos --= 9 ⋅---. 4 12 6 2

Скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.

∘ ------------------------ ∘ ------------------------- −−→ ( π )2 ( π )2 −→ ( π )2 ( π )2 |M N | = 3 sin -- + 3 cos-- = 3, |P Q| = 3sin --- + 3 cos --- = 3. 4 4 12 12

Тогда

√ -- √-- √ -- −−→ −→ −−→ −→ --3- −−→ −→ -3-- −−→ −→ --3- |M N |⋅|P Q|⋅cos(M N ;P Q) = 9⋅ 2 ⇒ 9⋅cos(M N ;P Q ) = 9⋅2 ⇒ cos(M N ;PQ ) = 2 ,

тогда $− −→ −→ 1- sin (M N ;P Q) = ± 2$ , но угол между векторами не меньше $∘ 0$ , но меньше $∘ 180$ , тогда

− −→ −→ sin (M N ;P Q) = 0,5.