Задача к ЕГЭ на тему «Уравнения в целых числах» №8

Просмотров 6 Комментарии 0

Известно, что при некоторых действительных $m$ и $n$ числа $m2 − n2$ и $2mn$ – натуральные. Обязательно ли $m$ и $n$ целые?

Обозначим $a = 2mn$ , $b = m2 − n2$ , тогда

2 2 -a- a--- 2 2 2 2 a-- m = 2n , b = 4n2 − n ⇒ (n ) + bn − 4 = 0.

Решая полученное биквадратное уравнение на $n$ , находим:

------------- ∘ √ ------- --a2 +-b2 −-b n = 2 ,

тогда

---------a---------- m = √-- ∘ √---2---2----. 2 ⋅ a + b − b

Пусть, например, $a = b = 1$ , тогда $∘ -------- √2-− 1 n = ------- 2$ , $1 m = √---∘--√------ 2 ⋅ 2 − 1$ – не являются целыми числами (например, $2 -1-- n = √2--− 0,5$ – явно не целое).